"معادلات الفيزياء الرياضية" - دورة 2800 فرك. من جامعة ولاية ميشيغان، التدريب 15 أسبوعًا. (4 أشهر)، التاريخ: 30 نوفمبر 2023.
Miscellanea / / December 02, 2023
تستهدف الدورة البكالوريوس والماجستير والمتخصصين في تخصصات الرياضيات أو الهندسة أو العلوم الطبيعية، بالإضافة إلى معلمي الجامعات. الغرض من المقرر هو تعريف الطالب بمجموعة من المسائل الكلاسيكية في مجال المعادلات مع الفيزياء الرياضية وتعليم الطالب الطرق الأساسية لدراسة مثل هذه المعادلات. يغطي المقرر المادة الكلاسيكية حول معادلات الفيزياء الرياضية (المعادلات التفاضلية الجزئية) خلال فصل دراسي واحد. أقسام "المعادلات الخطية وشبه الخطية من الدرجة الأولى"، "تصنيف المعادلات الخطية"، "المعادلة الموجية"، "معادلة القطع المكافئ"، "الحلول الأساسية"، "معادلة لابلاس"، وسنتعرف على الصياغة الكلاسيكية للمسائل - مسألة كوشي، مشكلة الحدود. دعونا نتقن الطرق الأساسية لدراسة المعادلات - التكامل المباشر، طريقة استمرار الحلول، طريقة فورييه، طريقة الحلول الأساسية، طريقة الإمكانات. سوف نتذكر في كثير من الأحيان اشتقاق هذه المعادلات في مشاكل الفيزياء الرياضية وحدود قابلية تطبيق نماذجنا.
شكل الدراسة
دورات بالمراسلة باستخدام تقنيات التعلم عن بعد
متطلبات القبول
توفر VO أو SPO
2
دورةدكتوراه في العلوم الفيزيائية والرياضية، أستاذ الوظيفة: أستاذ قسم الرياضيات الأساسية والتطبيقية، كلية أبحاث الفضاء، جامعة موسكو الحكومية التي تحمل اسم إم في لومونوسوف
1. أول لقاء.
كلمة تمهيدية. المبادئ الأساسية للعمل مع معادلات الفيزياء الرياضية. أمثلة على المعادلات البسيطة. تصنيف. حل المعادلات البسيطة عن طريق اختزالها إلى معادلات تفاضلية عادية. استبدال المتغيرات في المعادلة.
2. المعادلات من الدرجة الأولى – الخطية وشبه الخطية.
المعادلات الخطية. العثور على بديل مناسب - تجميع وحل نظام المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى. التكاملات الأولى للنظام. صفات. المعادلات شبه الخطية. العثور على حل في شكل ضمني.
3. مشكلة كوشي. تصنيف المعادلات الخطية من الدرجة الثانية.
بيان مشكلة كوشي. نظرية وجود وتفرد حل مشكلة كوشي. تصنيف المعادلات الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة. التخفيض إلى الشكل الكنسي.
4. المعادلات القطعية والقطع المكافئ والإهليلجي.
تصنيف المعادلات الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات المتغيرة على المستوى. نوع الزائدي، القطع المكافئ والإهليلجي. حل المعادلات الزائدية. مشاكل مع الشروط الأولية والحدية.
5. معادلة السلسلة.
معادلة موجية أحادية البعد على المحور بأكمله. موجة إلى الأمام والخلف. صيغة دالمبرت. تكامل دوهاميل. الشروط الحدودية للمعادلة على نصف المحور. الأنواع الأساسية للشروط الحدودية. استمرار الحل. حالة القطعة المحدودة.
6. طريقة فورييه باستخدام معادلة السلسلة كمثال.
فكرة طريقة فورييه. الخطوة الأولى هي إيجاد الأساس. الخطوة الثانية هي الحصول على المعادلات التفاضلية العادية لمعاملات فورييه. الخطوة الثالثة هي مراعاة البيانات الأولية. تقارب السلسلة.
7. معادلة الانتشار (القطعة المحدودة).
اشتقاق المعادلة. بيان المشاكل (الشروط الأولية والحدودية). طريقة فورييه. مع مراعاة الجانب الأيمن وعدم التجانس في شروط الحدود. تقارب السلسلة.
8. معادلة الانتشار (المحور كله).
تحويل فورييه، صيغة الانعكاس. حل المعادلة باستخدام تحويل فورييه. نظرية – مبرر الطريقة (حالتان). صيغة بواسون. حالة المعادلة مع الجانب الأيمن.
9. وظائف معممة.
كتابة صيغة بواسون كإلتفاف. التسجيل على شكل التفاف الحل للمعادلة الحرارية على قطعة محدودة. فئة شوارتز. أمثلة على الوظائف من الفصل. تعريف الوظائف المعممة، وارتباطها بالوظائف الكلاسيكية. ضرب دالة معممة في دالة أساسية، الاشتقاق. تقارب الوظائف المعممة. أمثلة على الوظائف العامة.
10. العمل مع الوظائف العامة.
حل المعادلات التفاضلية العادية في الدوال المعممة. تحويل فورييه للوظائف المعممة. التفاف. المنتج المباشر. الناقل للوظيفة المعممة. حل المعادلة الحرارية غير المتجانسة أحادية البعد باستخدام الحل الأساسي. الحل الأساسي للعامل التفاضلي العادي على الفاصل الزمني.
11. الحلول الأساسية.
اشتقاق صيغة بواسون للمعادلة الحرارية متعددة الأبعاد. اشتقاق صيغة كيرخوف. اشتقاق صيغة بواسون للمعادلة الموجية. حل المسائل باستخدام طريقة فصل المتغيرات، طريقة التراكب.
12. معادلة لابلاس.
اشتقاق معادلة لابلاس. المجال المتجه – الإمكانات، التدفق عبر السطح. إمكانات الحجم. إمكانات طبقة بسيطة. إمكانات طبقة مزدوجة. الإمكانات اللوغاريتمية.
13. مسألة ديريشليت، مسألة نيومان ووظيفة جرين.
الوظائف التوافقية. مبدأ الحد الأقصى الضعيف. نظرية هارناك. مبدأ الحد الأقصى الصارم. نظرية التفرد. يعني نظرية القيمة. نعومة لا نهاية لها. نظرية ليوفيل. صيغة جرين. وظيفة اللون الأخضر، خصائصه. حل مسألة بواسون مع شروط ديريشليت باستخدام دالة جرين. مشاكل القيمة الحدودية الأخرى. بناء دالة اللون الأخضر بطريقة الانعكاس.
14. طريقة فورييه متعددة الأبعاد.
حل المسائل باستخدام طريقة فورييه. شروط الحدود المختلفة. وظائف بيسل. ليجندر متعدد الحدود. مراجعة الدورة المكتملة. تلخيص.